Question

已知一個三角形的周長和面積分別是84、210，一個單位圓在它的內部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖），則這個三角形的內部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是

 

（結果保留準確值）．

Answer 1

分析：由圖知，要求的面積有兩部分：
①三角形的內部被圓滾過的部分是個三角形，且與原三角形相似，已知了原三角形的周長和面積，可求得原三角形的內切圓半徑，進而可得三角形內部被圓滾過部分的三角形的內切圓半徑，即可得到兩個三角形的相似比，根據相似三角形的性質可求得此三角形的周長和面積；
②三角形邊界的三個角的面積；連接單位圓的圓心和原三角形的三頂點，先求得構成的6個小直角三角形的面積，而3個扇形正好構成一個圓，由此可得原三角形邊界三個角的面積；
綜合①②的面積，即可得所求的值．

解答：解：如圖；
設△ABC的內切圓半徑為R，△DEF的內切圓半徑為r；
依題意有：

1

2

×84×R=210，即R=5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R=4：5，
∴C_△DEF=

4

5

C_△ABC=67.2；
易知：被圓滾過的三角形內部的三角形也和△ABC相似；
且其內切圓半徑為：R-2=3，即其面積=(

3

5

)2S_△ABC=75.6；
由圖知：S_{四邊形AHDG}=2S_△AGD=AG•1=AG，同理S_{四邊形PEQB}=BQ，S_{四邊形CNFM}=CM；
∴S_{四邊形AHDG}+S_{四邊形PEQB}+S_{四邊形CNFM}=AG+CM+BQ=

1

2

（C_△ABC-C_△DEF）=8.4；
而S_扇形DHG+S_扇形PEQ+S_扇形FMN=S_單位圓=π，
∴所求的面積=75.6+8.4-π=84-π．

點評：此題主要考查的是圖形面積的求法，涉及到切線的性質、扇形面積的計算方法、相似三角形以及三角形內切圓半徑的求法等知識；需要注意的有兩點：
①被圓滾過的三角形內部的三角形與原三角形相似，②原三角形邊界的三個扇形正好構成一個單位圓．