Question

【題目】如圖，有邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和頂角為120°的等腰，以為頂點(diǎn)作角，兩邊分別交、于、，連結(jié)，則的周長(zhǎng)為________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

要求△AMN的周長(zhǎng)，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來表示，所以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng)．

∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠BCD=∠DBC=30°，

∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，

∴∠DBA=∠DCA=90°，

延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，

在△BDF和△CND中，

∵，

∴△BDF≌△CND(SAS)，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，

∵∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

∴∠BDM+∠BDF=60°，

在△DMN和△DMF中，

∵ ，

∴△DMN≌△DMF(SAS)

∴MN=MF，

∴△AMN的周長(zhǎng)是：

AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=1+1=2，

故答案為：2