Question

（2013•杭州一模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發，點P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止．設P、Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數關系圖象如圖；
（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段），則下列結論：
①當0＜t≤5時，y=

4

5

t²；②當t=6秒時，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=

1

2

；④當t=

29

2

秒時，△ABE∽△QBP；
其中正確的是（　　）

A．①②

B．①③④

C．③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為四段，①當點P在BE上運動，點Q到達點C時；②當點P到達點E時，點Q靜止于點C，從而得到BC、BE的長度；③點P到達點D時，點Q靜止于點C；④當點P在線段CD上，點Q仍然靜止于點C時．

解答：解：
根據圖（2）可得，當點P到達點E時點Q到達點C，
∵點P、Q的運動的速度分別是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
又∵從M到N的變化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2=

AE

BE

=

6

10

=

3

5

．
故③錯誤；
如圖1，過點P作PF⊥BC于點F，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴sin∠1=sin∠2=

AB

BE

=

8

10

=

4

5

，
∴PF=PB•sin∠1=

4

5

t，
∴當0＜t≤5時，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

×2t×

4

5

t=

4

5

t²，故①正確；
如圖3，當t=6秒時，點P在BE上，點Q靜止于點C處．
在△ABE與△PQB中，

AE=BP=6 ∠1=∠2 BE=BC

，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正確；
如圖4，當t=

29

2

秒時，點P在CD上，此時，PD=

29

2

-BE-ED=

29

2

-10-4=

1

2

，
PQ=CD-PD=8-

1

2

=

15

2

，
∵

AB

AE

=

8

6

=

4

3

，

BQ

PQ

=

10

15 2

=

4

3

，
∴

AB

AE

=

BQ

PQ

又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正確．
綜上所述，正確的結論是①②④．
故選D．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖（2）判斷出點P到達點E用了10s，點Q到達點C用了5s是解題的關鍵，也是本題的突破口．