Question

【題目】如圖1，已知長方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E為CD邊的中點，P為長方形ABCD邊上的動點，動點P從A出發，沿著A→B→C→E運動到E點停止，設點P經過的路程為x，△APE的面積為y．

（1）求當x=5時，對應y的值；

（2）如圖2、3、4，求出當點P分別在邊AB、BC和CE上時，y與x之間的關系式；

（3）如備用圖，當P在線段BC上運動時，是否存在點P使得△APE的周長最小，若存在，求出此時∠PAD的度數，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x=5時，y=11；

（2）當點P在AB邊上時，y=3x；當點P在BC邊上時， ；當點P在線段CE上時， ；

（3）存在，此時∠PAD=45°.

【解析】試題分析：（1）利用三角形面積求法S△AP′E=S梯形ABCE-S△ABP′-S△P′CE，分別得出答案；

（2）利用當0≤x≤4時，當4<x≤10時，當10<x≤12時，分別得出y與x的函數關系式即可；（3）利用軸對稱求最短路線的方法得出P點位置，進而利用相似三角形的性質求出答案．

試題解析： (1)如圖1，

∵長方形ABCD中，BC=AD=6，

∴當x=2時,則AP=2,故y=S△APE=×2×6=6；

∵長方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，

∴當x=5時,則BP′=1，

故y=S△AP′E=S梯形ABCES△ABP′S△P′CE

= (AB+EC)×BC×AB×BP′P′C×EC= (4+2)×6×1×4×5×2=11.

(2)當0x4時,y=x×6=3x；

當4<x10時，P在BC上，

y=S梯形ABCES△ABP′S△P′CE=18×4×(x4) (10x)×2=16x；

當10<x≤12時，P在EC上，

y=×6×(12x)=363x.

綜上所述：y=.

（3）存在.如圖，

作點E關于BC所在直線的對稱點E′，連接AE′ 交BC于點P，此時△APE的周長最小，于是DE′=6=AD，又因為∠D=90°，所以=45°．