Question

【題目】如圖，拋物線的頂點D的坐標為（﹣1，4），拋物線與x軸相交于A．B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，已知點E（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得△CEF的周長最小，如果存在，求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2，連接AD，若點P是線段OC上的一動點，過點P作線段AD的垂線，在第二象限分別與拋物線、線段AD相交于點M、N，當MN最大時，求△POM的面積．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3；(2) 存在, F（﹣1，0）,理由見解析；（3）2

【解析】

(1)根據頂點式可求得拋物線的表達式;

(2) 如圖 1，作 C關于對稱軸的對稱點 C′，連接EC′交對稱軸于 F，根據軸對稱的最短路徑問題, CF+EF的值最小，則△CEF的周長最小;

(3)如圖2,先利用待定系數法求AD的解析式為: y＝2x+6,設M（m，﹣m2﹣2m+3），則G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1）,證明△MNG∽△AHD,列比例式可得MN的表達式,根據配方法可得當m=-2時,MN有最大值,證明△MCP∽△DHA,同理得PC的長,從而得OP的長,根據三角形的面積公式可得結論,并將m=-2代入計算即可

（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x+1）2+4，

把x＝0，y＝3代入得：3＝a（0+1）2+4，解得：a＝﹣1

∴拋物線的表達式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．如圖 1，作 C關于對稱軸的對稱點 C′，連接EC′交對稱軸于 F，此時 CF+EF的值最小，則△CEF的周長最小．

∵C（0，3），

∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式為：y＝﹣3x﹣3，

當x＝﹣1時，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，

∴F（﹣1，0）

（3）如圖2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

易得AD的解析式為：y＝2x+6，

過點D作DH⊥x軸于H，過點M作MG⊥x軸交AD于G，

AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝ ，

設M（m，﹣m2﹣2m+3），則G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），

∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，

由題易知△MNG∽△AHD，

∴

即

∵

∴當m＝﹣2時，MN有最大值；

此時M（﹣2，3），又∵C（0，3），連接MC

∴MC⊥y軸

∵∠CPM＝∠HAD，∠MCP＝∠DHA＝90°，

∴△MCP∽△DHA，

∴

即

∴PC＝1

∴OP＝OC﹣PG＝3﹣1＝2，

∴S△POM＝ ＝2，