Question

如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發以每秒1個單位長度沿A-B-C-D的路線作勻速運動．當P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設P點運動時間為t（秒）．
①當t=5時，求出點P的坐標；
②若△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數關系式（并寫出相應的自變量t的取值范圍）．

Answer 1

分析：本題是二次函數的實際應用題，需要由易到難，逐步解答，（1）、（2）①比較簡單，解答這兩個問題，可以幫助我們理解題意，搞清楚題目數量關系；
②由于動點P的位置有三種可能，需要表達分段函數．

解答：解：（1）P點從A點運動到D點所需的時間=（3+5+3）÷1=11（秒）

（2）①當t=5時，P點從A點運動到BC上，
此時A點到E點的時間=10秒，AB+BP=5，
∴BP=2
過點P作PE⊥AD于點E，則PE=AB=3，AE=BP=2
∴OE=OA+AE=10+2=12
∴點P的坐標為（12，3）．
②分三種情況：
i.0＜t≤3時，點P在AB上運動，此時OA=2t，AP=t
∴s=

1

2

×2t×t=t²
ii.3＜t≤8時，點P在BC上運動，此時OA=2t
∴s=

1

2

×2t×3=3t
iii.8＜t＜11時，點P在CD上運動，此時OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）-（AB+BC+CP）=11-t
∴s=

1

2

×2t×（11-t）=-t²+11t
綜上所述，s與t之間的函數關系式是：
當0＜t≤3時，s=t²；
當3＜t≤8時，s=3t；
當8＜t＜11時，s=-t²+11t．

點評：本題是二次函數與矩形性質的綜合題，也是動態幾何問題，需要從運動中找規律，分類討論．