Question

如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結論；
（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，且

AE

BC

=

6

2

，求∠B的大小．

Answer 1

（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）當四邊形AECF是正方形時，AO⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC，AC=

2

AE，
∵

AE

BC

=

6

2

，
∴BC=

6

3

AE，
∴tanB=

AC

BC

=

2 AE

6 3 AE

=

3

，
∴∠B=60°．