Question

如圖①，P為△ABC內一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C
（1）利用直尺和圓規，在圖②中作出△ABC的自相似點P（不寫作法，但需保留作圖痕跡）；
（2）若△ABC的三內角平分線的交點P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

Answer 1

(1)①作圖
作法如下：（i）在∠ABC內，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB內，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點P．
則P為△ABC的自相似點．  
②連接PB,PC．∵P為△ABC的內心，∴，．
P為△ABC的自相似點，由條件可知，只能是△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠BAC，
∠ACB＝2∠BCP=4∠BAC．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°,∴．
∴該三角形三個內角的度數分別為，，．

（1）根據題中的信息，做出△ABC的自相似點P；
（2）由自相似點的含義可知△BCP∽△ABC，得出各角之間的關系。