Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=8cm，AD=6cm， BC=10cm。點P從點B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF從CD出發沿DA方向勻速運動，速度為1 cm/s，且EF與BD交于點Q，連接PE、PF。當點P與點Q相遇時，所有運動停止。若設運動時間為t（s）.
(1)求CD的長度
(2)當PE//AB時，求t的值；
(3)①設△PEF的面積為S，求S關于t的函數關系式；
②如圖2，當△PEF的外接圓圓心O恰好在EF中點時，則t的值為          （請直接寫出答案）

Answer 1

（1）過點D作DM⊥BC，交BC于點M
∵AD//BC，∠A=90°
∴ DM=AB=8cm，BM=AD=6cm
∴CM="4cm,"
∴CD=cm
（2）由題意可求BD=10cm，BP=t,
∴DP="10-t"   DE=t
∵PE//CD
∴△DPE∽△DBA
∴  即
解得t=

（3）①過點B作BH⊥CD，交于點H，過點P作PG⊥EF，交于點G，
∵BD=BC=10cm，CD= cm
∴DH= cm
∴BH= cm
∵EF//CD     易證， EF=CD= ，DQ=DE=t，
∴QP=BD-BP-DQ=10-2t
可證 △QPG∽△DBH
∴  即   ∴PG=
S=
②  t= 

提示：如圖過點P作MN//AB，則PM⊥AD，PN⊥BC
由題意可知∠EPF=90°
通過相似可得PM=  PN=
ME==  NF==


由可解得t₁=，t₂=(舍去)  （也可用相似法）

（1）過D作BC的垂線，設垂足為M，在Rt△CDM中，由勾股定理即可求得CD的長；
（2）當PE∥CD時，△DPE∽△DBA，可用t表示出DP、DE的長，進而由相似三角形得到的比例線段求得t的值；
（3）①易知BC=BD=10，則△DBC是等腰三角形，由于EF∥CD，易證DE=DQ=t，QP=10-t；利用△QPG∽△DBH求得PG的長，然后求△PEF面積表達式；
②利用相似求出MP、PN、ME、NF的長度，然后利用勾股定律求出t的值．