Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，對角線AC、BD相交于點O，點A繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜∠AOD），連接A′C．

（1）如圖①，則△AA′C的形狀是　 　；

（2）如圖②，當(dāng)∠α=60°，求A′C長度；

（3）如圖③，當(dāng)∠α=∠AOB時，求證：A′D∥AC．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意易得：A′O=AO=BO，由此可得∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°即可得到∠AA′C=90°，從而可得△A′AC是直角三角形；

（2）由已知條件易得：AC=，則由矩形的性質(zhì)可得OA=OA′=，結(jié)合∠α=60°，

可得△AA′O是等邊三角形，從而可得∠OAA′=60°，結(jié)合∠AA′C=90°，可得A′C=sin∠OAA′×AC=；

（3）由題意易得OD=OA=OA′，由此可得∠OA′D=∠ODA′，則可得∠OA′D= (180°-∠DOA′)；由∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°可得∠α= (180°-∠∠DOA′)；由此即可得到∠α=∠OA′D，從而可得A′D∥AC．

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，

∵OA=OA′，

∴OA′=OC，

∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，

∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，

∴∠CA′A=90°，

∴△AA′C是直角三角形，

故答案為：直角三角形；

（2）∵AB=1，BC=2，

∴AC，

∴OA=OA′=，

∵∠α=60°，

∴△AA′O是等邊三角形，

∴∠OAA′=60°，

∴A′C=AC=；

（3）∵∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°，

∴∠α= (180°-∠∠DOA′)，

∵四邊形ABCD是矩形，OA′是由OA繞點O旋轉(zhuǎn)得到的，

∴OD=OA=OA′，

∴∠OA′D=∠ODA′，

∴∠OA′D= (180°-∠DOA′)，

∴∠α=∠OA′D，

∴A′D∥AC．