Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm，點P從點D出發，沿DA方向勻速向點A運動，速度為2cm/s；同時，點E從點B出發，沿BO方向勻速向點O運動，速度為1cm/s，EF∥BC，交OC于點F．當點P、E中有一點停止運動時，另一點也停止運動，線段EF也停止運動，連接PE、DF（0<t<5）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，PE∥AB？

（2）設四邊形EFDP的面積為y（），求y與t之間的函數關系式．

（3）是否存在某一時刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）連接FP，是否存在某一時刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=s；（2）；（3）不存在，理由見解析；（4）存在， t=

【解析】

（1）由菱形性質和勾股定理求得菱形的邊長，然后利用平行線分線段成比例定理得到，然后將BE=t，DE=16-t，DP=2t代入求解即可；

（2）作PQ⊥OD于Q，利用AA定理判定△DQP∽△DOA，然后根據相似三角形性質求得PQ的長，利用平行線分線段成比例定理求得OF的長，從而利用三角形面積公式求函數解析式；

（3）由（2）問中求得的四邊形面積與菱形面積的等量關系列方程求解；

（4）假設存在t，使得FP⊥AD，由AA定理證得△AOD∽△APF，然后根據相似三角形的性質求得，從而列方程求解即可．

解：（1）由題意可知：BE=t，DE=16-t，DP=2t

∵四邊形ABCD是菱形，

∴，

，

AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，

∴在Rt△AOD中，

由勾股定理，得

，

∴，

∵PE∥AB，

∴，

即，，

∴，

因此，當t為s時，PE∥AB．

（2）作PQ⊥OD于Q，

∴∠DQP=∠DOA=90°，

又∵∠QDP=∠ODA，

∴△DQP∽△DOA，

∴，

即，，

∴，

∵EF∥BC，

∴，

即，，

∴，

∴

因此，y與t之間的函數關系式為．

（3）假設存在t，使得，

∴，

即，，

∴，

解得，，，均不符合題意，

因此，不存在t，使．

（4）假設存在t，使得FP⊥AD．

∵四邊形ABCD是菱形

∴AC⊥BD=90°，

∴∠AOD=90°，

∵FP⊥AD

∴∠APF=90°，

∴∠AOD=∠APF，

∵∠OAD=∠PAF，

∴△AOD∽△APF

∴

∵，DP=2t

∴AF=，AP=10－2t

∴

∴t=

因此，當t=時，FP⊥AD．