Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，tanA= ，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H，給出如下幾個結論：（1）△AED≌△DFB；（2）CG與BD一定不垂直；（3）∠BGE的大小為定值；（4）S四邊形BCDG= CG2；其中正確結論的序號為________．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

（1）正確，先證明△ABD為等邊三角形，根據“SAS”證明△AED≌△DFB；

（2）錯誤，只要證明△GDC≌△BGC，利用等腰三角形性質即可解決問題．

（3））正確，由△AED≌△DFB，推出∠ADE=∠DBF，所以∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，

（4）正確，證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，易求后者的面積．

(1)∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AD.

∵AB=BD，

∴△ABD為等邊三角形.

∴∠A=∠BDF=60°.

又∵AE=DF，AD=BD，

在△AED和△DFB中，AE=DF，∠A=∠BDF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故本小題正確；

(2)當點E,F分別是AB,AD中點時，

由(1)知，△ABD，△BDC為等邊三角形，

∵點E，F分別是AB，AD中點，

∴∠BDE=∠DBG=30°，

∴DG=BG，

在△GDC與△BGC中，DG=BG，CG=CGC，D=CB，

∴△GDC≌△BGC，

∴∠DCG=∠BCG，

∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；

(3)∵△AED≌△DFB，

∴∠ADE=∠DBF，

∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°,故本選項正確.

(4)∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴點B. C. D. G四點共圓，

∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.

∴∠BGC=∠DGC=60°.過點C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.(如圖2)

則△CBM≌△CDN,(AAS)

∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，

S四邊形CMGN=2S△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG,CM=CG，

∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本小題正確.

綜上所述,正確的結論有(1)(3)(4).

故答案為：(1)(3)(4).