Question

如圖，在直徑為10的半圓AB上有兩個動點C，D，弦AC、BD相交于點P，連接OP．
（1）若BD=8，試求出圓心O到弦BD的距離OE的長度；
（2）試比較∠OPA和∠OPB的大小；（只寫結論，不需證明）
（3）試求出AP•AC+BP•BD的值．

Answer 1

分析：（1）構造直角三角形利用勾股定理求得OE的長即可；
（2）根據弦的大小關系判斷弦所對的圓心角的大小關系即可，注意分類討論．
（3）連接AD，過P作PM⊥AB，垂足為M證得△ABD∽△PBM后即可得到答案．

解答：解：（1）∵OE⊥BD
∴BE=

1

2

BD=4（1分）在Rt△OBE中，OE=

OB2-BE2

=

52-42

=3（3分）

（2）①若AC＜BD，∠OPA＞∠OPB
②若AC=BD，∠OPA=∠OPB
③若AC＞BD，∠OPA＜∠OPB（8分）
（寫一個得（2分），寫全得5分）

（3）連接AD，過P作PM⊥AB，垂足為M
則有∠ADB=∠PMB=90°，（9分）
又∠DBA=∠PBM
∴△ABD∽△PBM（11分）
∴

PB

AB

=

MB

BD

同理有

PA

AB

=

AM

AC

∴AP•AC=AB•AMBP•BD=AB•MB（13分）
∴AP•AC+BP•BD=AB•AM+AB•MB
=AB（AM+MB）
=AB²=100（14分）
（沒有過程只寫出最后答案得（1分），只寫特殊情況的推理計算得2分）

點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，題目中應用到了分類討論思想．