Question

（2009•安溪縣質檢）如圖，四邊形ABCD的頂點在⊙O上，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若DE=4，AD=6，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切線；
（2）通過證明Rt△BAD∽Rt△AED，再利用對應邊成比例關系從而求出⊙O半徑的長．
解答：（1）證明：連接OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．（1分）
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．（1分）
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．（1分）

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，（1分）
∴Rt△BAD∽Rt△AED．（1分）
∴=．（1分）
∴BD===9，
即⊙O是半徑為4.5．（1分）
點評：主要考查學生對相似三角形的判定及性質的運用，及切線的求法等知識點的掌握情況．