Question

在△ABC中，
（1）如圖一，AB、AC邊上的高CE、BD交于點O，若∠A=60°，則∠BOC=

120

°．
（2）如圖二，若∠A為鈍角，請畫出AB、AC邊上的高CE、BD，CE、BD所在直線交于點O，則∠BAC+∠BOC=

180

°，再用你已學過的數學知識加以說明．
（3）由（1）（2）可以得到，無論∠A為銳角還是鈍角，總有∠BAC+∠BOC=

180

°．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可求出∠BOC；
（2）設∠BAC=x，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠ABD，再根據直角三角形兩銳角互余表示出∠BOC，二者相加即可得解；
（3）根據計算即可得出規律．

解答：解：（1）∵∠A=60°，BD是AC邊上的高，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∵CE是AB邊上的高，
∴在Rt△BOE中，∠BOC=∠ABD+∠BEO=30°+90°=120°；

（2）如圖所示，設∠BAC=x，
∵BD是AC邊上的高，
∴∠ABD=∠BAC-∠ADB=x-90°，
∵CE是AB邊上的高，
∴∠BOC=90°-∠ABD=90°-（x-90°）=180°-x，
∴∠BAC+∠BOC=x+180°-x=180°；

（3）根據計算，無論∠A為銳角還是鈍角，總有∠BAC+∠BOC=180°．
故答案為：（1）120；（2）180；（3）180．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的高線以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，是基礎題，熟記定理與性質并準確識圖找準各角度之間的關系是解題的關鍵．