Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(,0)為圓心，以為半徑圓與x軸相交于點(diǎn)B，C，與y軸相交于點(diǎn)D，E.

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上；
（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)Q為（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1），在；（2）；（3）存在，（，12）.

試題分析：（1）由已知條件先求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把其橫縱坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式求出b，c，再將點(diǎn)B坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可；（2）BD的長(zhǎng)為定值，所以要使△PBD周長(zhǎng)最小，只需PB+PD最小，連接DC，則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△PBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)；（3）設(shè)Q（ ，t）為拋物線對(duì)稱軸x= 
上一點(diǎn)，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，再分①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)和①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，討論即可.
試題解析：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0），B（，0）.
又在Rt△AOD中，OA=，∴OD=. ∴D.
又∵D，C兩點(diǎn)在拋物線上，∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
又∵當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)B（，0）在該拋物線上.
（2）∵，∴拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=.
∵BD的長(zhǎng)為定值，∴要使△PBD周長(zhǎng)最小，只需PB+PD最小.
連接DC，則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△FBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，
設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n，，解得.
∴直線DC的解析式為.
在中令x=得y=. ∴P的坐標(biāo)為.
（3）存在，
設(shè)Q（，t）為拋物線對(duì)稱軸x=上一點(diǎn)，M在拋物線上，
要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，且點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)，
過(guò)點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)M（x，t），由BC=QM得QM=4，從而x=，t=12.
故在拋物線上存在點(diǎn)M（，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形.