Question

拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
（1）寫出拋物線的對稱軸及C、D兩點的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）連接BD并以BD為直徑作⊙M，當a=-1時，請判斷⊙M是否經過點C，并說明理由；
（3）在（2）題的條件下，點P是拋物線上任意一點，過P作直線垂直于對稱軸，垂足為Q．那么是否存在這樣的點P，使△PQD與以B、C、D為頂點的三角形相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D，根據二次函數的對稱軸方程與頂點坐標的求解方法即可求得對稱軸及D點的坐標，又由當x=0時，y=3，求得C點的坐標；
（2）首先求得點B，C，D的坐標，然后根據兩點間的距離公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD²+BC²=DB²，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直徑所對的圓周角是直角，可得⊙M是經過點C；
（3）首先求得CD，BC，的長，然后分別從①若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△DCB，②若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△BCD，③若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△DCB，④若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△BCD去分析，根據相似三角形的對應邊成比例，求得方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
∴對稱軸為：x=-

2

2a

=-

1

a

，
∵當x=0時，y=3，
∴C的坐標為：（0，3），
∵D點的縱坐標為：y=

12a-4

4a

=

3a-1

a

，
D點的坐標為：（-

1

a

，

3a-1

a

）；…（3分）

（2）⊙M經過點C，
理由：連接BC，
∵a=-1，
∴拋物線為：y=-x²+2x+3，
∴點D（1，4），點B（3，0），點C（0，3），
∴CD²=2，BD²=20，BC²=18，
∴CD²+BC²=DB²，
∴∠DCB=90°，
∵BD是直徑，
∴∠BCD是直徑所對的圓周角，
∴⊙M是經過點C；（3分）

（3）設P（x，-x²+2x+3）
∵CD²=2，BC²=18，
∴CD=

2

，BC=3

2

，
①如圖：若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△DCB，
則

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

1-x

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）；
∴當x=-2時，y=-5；
∴P₁的坐標為（-2，-5）；
②若點P在對稱軸的左側，且△PQD∽△BCD，
則

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

1-x

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₃=

2

3

，x₄=1（舍去）；
∴當x=

2

3

時，y=

35

9

；
∴P₂的坐標為（

2

3

，

35

9

）；
③若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△DCB，
則

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

x-1

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₅=4，x₆=1（舍去）；
∴當x=4時，y=-5；
∴P₃的坐標為（4，-5）；
④若點P在對稱軸的右側，且△PQD∽△BCD，
則

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

x-1

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₇=

4

3

，x₈=1（舍去）；
∴當x=

4

3

時，y=

35

9

；
∴P₄的坐標為（

4

3

，

35

9

）；
綜上可得，點P的坐標為：P₁（-2，-5）或P₂（

2

3

，

35

9

）或P₃（4，-5）或P₄（

4

3

，

35

9

）．…（4分）

點評：此題考查了對稱軸方程，頂點坐標的求解方法，圓的性質，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用．