Question

【題目】如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝5cm，BC＝6cm，點E．F．G分別從A．B．C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設點E．F．G運動的時間為t（單位：s）．

（1）當t等于多少s時，四邊形EBFB′為正方形；

（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實數t，使得點B’與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝1.25；（2）當t＝1.4s或t＝（﹣7+）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似；（3）不存在實數t，使得點B′與點O重合．理由見解析.

【解析】

（1）利用正方形的性質，得到BE＝BF，列一元一次方程求解即可；

（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；

（3）本問為存在型問題．假設存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在

（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，

即：5﹣t＝3t，

解得t＝1.25；

故答案為：1.25；

（2）分兩種情況，討論如下：

①若△EBF∽△FCG，

則有，即，

解得：t＝1.4；

②若△EBF∽△GCF，

則有，即，

解得：t＝﹣7﹣（不合題意，舍去）或t＝﹣7+．

∴當t＝1.4s或t＝（﹣7+）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似．

（3）假設存在實數t，使得點B′與點O重合．

如圖，過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，

由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2，

即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2

解得：t＝；

過點O作ON⊥AB于點N，則在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，

由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2，

即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2

解得：t＝．

∵≠，

∴不存在實數t，使得點B′與點O重合．