Question

【題目】已知：等邊△ABC的邊長為4，點P在線段AB上，點D在線段AC上，且△PDE為等邊三角形，當點P與點B重合時（如圖1），AD+AE的值為　 　；

[類比探究]在上面的問題中，如果把點P沿BA方向移動，使PB=1，其余條件不變（如圖2），AD+AE的值是多少？請寫出你的計算過程；

[拓展遷移]如圖3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，點P在線段BA延長線上，點D在線段CA延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，設AP=m，則線段AD、AE有怎樣的等量關系？請用含m，a的式子直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）4．（2）[類比探究]： AD+AE=3（3）[拓展遷移]： AD﹣AE=2msin．

【解析】試題分析：（1）只要證明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；

（2）[類比探究]：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．利用（1）中的結論即可解決問題；

（3）[拓展遷移]：如圖3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一點K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD﹣AE=AK=2AJ=2msin即可解決問題；

試題解析：（1）如圖1中，

∵△PDE．△PAC都是等邊三角形，∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，

∴∠EPA=∠DPC，∴△EPA≌△DPC，∴AE=CD，∴AD+AE=AD+DC=AC=4．

（2）[類比探究]： AD+AE=3

理由：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．

易證△PAK是等邊三角形，

由上面題目可知．AE+AD=AK=3．

（3）[拓展遷移]：如圖3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一點K，使得PK=PA．

易證∠APK=∠DPE=α，

∵PD=PE，PK=PA，∴∠DPK=∠EPA，∴△PDK≌△PEA，∴DK=AE，

∴AD﹣AE=AK=2AJ=2msin．∴AD﹣AE=2msin．