Question

【題目】（發現問題）

如圖1，已知，以點為直角頂點，為腰向外作等腰直角、請你以為直角頂點、為腰，向外作等腰直角（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接、．那么與的數量關系是________．

（拓展探究）

如圖2，已知，以、為邊向外作正方形和正方形，連接、，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．

（解決問題）

如圖3，有一個四邊形場地，，，，，求的最大值．

Answer 1

【答案】發現問題：BD=CE，證明見詳解；拓展探究：BD=CE，證明見詳解；解決問題：BD的最大值為23．

【解析】

發現問題：延長CA到M，作∠MAC的平分線AN，在AN上截取AD=AC，連接CD，即可得到等腰直角△ACD；由等腰直角三角形的性質，證出∠BAD=∠EAC，證明△BAD≌△EAC（SAS），即可得出BD=CE；

拓展探究：由正方形的性質，證出∠BAD=∠EAC，證明△BAD≌△EAC（SAS），即可得出BD=CE；

解決問題：以AB為邊向外作等邊三角形ABE，連接CE，由等邊三角形的性質，證出△ACD是等邊三角形，得出∠CAD=60°，AC=AD，證出∠BAD=∠EAC，證明△BAD≌△EAC（SAS），得出BD=CE；當C、B、E三點共線時，CE最大=BC+BE=23，得出BD的最大值為23．

發現問題：

解：延長CA到M，作∠MAC的平分線AN，在AN上截取AD=AC，連接CD，即可得到等腰直角△ACD；連接BD、CE，如圖1所示：

∵△ABE與△ACD都是等腰直角三角形，

∴AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，

故答案為：BD=CE；

拓展探究：

解：BD=CE；理由如下：如圖：

∵四邊形AEFB與四邊形ACGD都是正方形，

∴AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD=CE；

解決問題：

解：以AB為邊向外作等邊三角形ABE，連接CE，如圖3所示：

則∠BAE=60°，BE=AB=AE=8，

∵AD=CD，∠ADC=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠CAD=60°，AC=AD，

∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠BAD=∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD=CE；

當C、B、E三點共線時，CE最大=BC+BE=15+8=23，

∴BD的最大值為23．