Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與軸相交于A、B兩點，與軸相交于點C，OA=1，OC=3，連接BC．

（1）求b的值；

（2）點D是直線BC上方拋物線一動點（點B、C除外），當△BCD的面積取得最大值時，在軸上是否存在一點P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，若在平面上存在點Q，使得以點B、C、D、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=3；（2）P（0，）；（3） （-，），（，-），（，），

【解析】

（1）根據OA=1，OC=3得出點A和C的坐標，代入拋物線的解析式列方程組可得b的值；（2）寫出拋物線的解析式，利用三角形面積公式可知，當底邊BC一定時，高最大時其△BCD的面積最大，即作BC的平行線，其平行線的距離最大時，即平行線l與拋物線有一個交點時，交點為D，利用方程組的解可得D的坐標，最后根據三角形的三邊關系確定當P、B、D三點共線時，|PB﹣PD|最大，利用待定系數法求直線BD的解析式，與y軸的交點就是點P；（3）如圖4，畫出平行四邊形，有三種情況：根據平移規律確定Q的坐標．

（1）∵OA=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
把A（-1，0），C（0，3）代入拋物線y=-x2+bx+c中得：
∵，
（2）由（1）得：拋物線y=-x2+2x+3，
當y=0時，-x2+2x+3=0，
解得：x=-1或3，
∴B（3，0），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，

，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
如圖1，作直線l∥BC，

設直線l的解析式為：y=-x+b，
由題意可知：△BCD中邊BC長一定，當△BCD的面積取得最大值時，即以BC為底邊，其高最大，
也就是直線l與拋物線有一個交點時，三角形高最大，△BCD的面積最大，
則，

-x2+2x+3=-x+b，
x2-3x+b-3=0，
△=（-3）2-4×1×（b-3）=0，
，
∵P是y軸上任意一點，
如圖2，|PB-PD|＜BD，
∴當P、B、D三點共線時，|PB-PD|最大，如圖3，

（3）如圖4，分三種情況：

①當CD為平行四邊形的對角線時，