Question

【題目】如圖，OA是⊙O的半徑，點E為圓內一點，且OA⊥OE，AB是⊙O的切線，EB交⊙O于點F，BQ⊥AF于點Q．

(1)如圖1，求證：OE∥AB；

(2)如圖2，若AB＝AO，求的值；

(3)如圖3，連接OF，∠EOF的平分線交射線AF于點P，若OA＝2，cos∠PAB＝，求OP的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．

【解析】

（1）利用切線的性質證得∠AOE+∠OAB=180°，利用同旁內角互補兩直線平行證得OE∥AB；
（2）過O點作OC⊥AF于點C，證得△AOC≌△BAQ（AAS）后得到AC=BQ，進一步得到AF=2AC=2BQ，從而求得兩條線段的比；
（3）過O點作OC⊥AF于點C，解直角三角形求得OC的長，然后證得△POC為等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質求得線段OP 的長即可．

解：(1)

∵OA⊥OE，

∴∠AOE=90°，

又∵AB是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，

∴OA⊥AB

∴∠OAB=90°，

∴∠AOE+∠OAB =180°，

∴OE∥AB.

(2)如圖2，過O點作OC⊥AF于點C，

∴AF=2AC， ∠OCA=90°，

∴∠AOC+∠OAC =90°，

又∵OA⊥AB，

∴∠OAC+∠CAB =90°，

∴∠AOC=∠CAB，

又∵BQ⊥AF，

∴∠AQB =90°，

∴∠ACO =∠AQB

又∵OA =AB，

∴△AOC≌△BAQ(AAS)，

∴AC =BQ，

∴AF=2AC =2BQ，

即；

(3)如圖3：過O點作OC⊥AF于點C，

由(2)得∠AOC =∠PAB，

∴，

在Rt△AOC中， OA =2，

∴OC===，

又∵OA=OF，OC⊥AF于點C，

∴∠COF=∠AOF，

又∵OP平分∠EOF，

∴∠POF=∠EOF，

∴∠POC=∠COF+∠POF=∠AOF+∠EOF=∠EOA=45°，

∴△POC為等腰直角三角形

∴．