Question

【題目】如圖,點P是矩形ABCD內一點,連接PA、PB、PC、PD,已知AB=3,BC=4,設△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,的面積分別為,,, ,以下判斷: ①PA+PB+PC+PD的最小值為10;②若△PAB≌△PCD,則△PAD≌△PBC ;③若=,則=；④若△PAB∽△PDA,則PA=2.4.其中正確的是_____________(把所有正確的結論的序號都填在橫線上)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】分析：①當點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判斷；
②根據全等三角形的性質可得PA=PC，PB=PD，那么P在線段AC、BD的垂直平分線上，即P是矩形ABCD兩對角線的交點，易證△PAD≌△PBC，即可判斷；
③易證S1+S3=S2+S4，所以若S1=S2，則S3=S4，即可判斷；
④根據相似三角形的性質可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形內角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三點共線，根據三角形面積公式可得PA=2.4，即可判斷．

詳解：①當點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值為10，故①正確；

②若△PAB≌△PCD,則PA=PC,PB=PD,所以P在線段AC、BD的垂直平分線上,即P是矩形ABCD兩對角線的交點,所以△PAD≌△PBC，故②正確；

③若=,易證+=+,則=，故③正確；

④若△PAB△PDA,則∠PAB=∠PDA,∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°,∠APD=180°(∠PDA+∠PAD)=90°,同理可得∠APB=90°,那么∠BPD=180°，B.P、D三點共線，P是直角△BAD斜邊上的高，根據面積公式可得PA=2.4，故④正確.

故答案為①②③④.