Question

【題目】如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上的一點，AE⊥EF，下列結論：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CF＝ FD； ④△ABE∽△AEF.其中正確的有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】因為正方形ABCD中，E是BC的中點，所以tan∠BAE= ，所以∠BAE≠30°，故①錯誤；因為∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°；所以∠BAE=∠CEF，又因為∠B=∠C=90°，所以△ABE∽△ECF則AB：BE=EC：CF，因為BE=CE，所以AB：CE=EC：CF，即CE2=AB CF，所以②正確；

設CF=a，則BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴AE=2 a，EF= a，AF=5a，∴ ， ，∴ ，∴△ABE∽△AEF，故④正確．∴CF= EC= CD，∴CF＝ FD；故③正確；所以答案是：C.

【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．