Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，拋物線的對稱軸與直線AB交于點M．

（1）當四邊形CODM是菱形時，求點D的坐標；

（2）若點P為直線OD上一動點，求△APB的面積；

（3）作點B關于直線MD的對稱點B'，以點M為圓心，MD為半徑作⊙M，點Q是⊙M上一動點，求QB'+QB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）D（，）；（2）3；（3）．

【解析】

（1）求出D（m，m），C（0，2），根據菱形的性質可得OD=OC=2=m，求出m＝，則D點坐標可求出；

（2）聯立直線與拋物線求出交點A、B的坐標，然后求出AB的長，再根據AB∥OD求出兩平行線間的距離，最后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；

（3）根據A、B的坐標求出AM、BM的長，再根據點M的坐標，從而得到⊙M的半徑為2，取MB的中點N，連接QB、QN、QB′，然后利用兩邊對應成比例夾角相等兩三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根據相似三角形對應邊成比例求出，然后根據三角形任意兩邊之和大于第三邊判斷出Q、N、B′三點共線時QB’+最小，然后根據勾股定理列式計算即可得解．

解：（1）∵拋物線y=x2﹣2mx+m2+m=（x-m）2+m，直線y=x+2，

∴D（m，m），C（0，2），

∴OD=m，

∵四邊形CODM為菱形，

∴OD=OC=2=m，

∴m=，

∴D（）；

（2）∵y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點，

∴聯立，

解得：，，

∵點A在點B的左側，

∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AB==3，

∵D（m，m），

∴直線OD的解析式為y=x，

∵直線AB的解析式為y=x+2，

∴AB∥OD，

如圖，作CE⊥OD于E，則∠COE＝45°，

∴直線AB、OD之間的距離CE=×2=，

∴S△APB=ABCE=×3×=3；

（3）∵拋物線對稱軸為x=m，當x=m時，y=x+2=m+2，

∴M（m，m+2），

又∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AM=1×=，BM=2×=2，

∵D（m，m），

∴以MD為半徑的圓的半徑為 （m+2）﹣m=2，

取MB的中點N，連接QB、QN、QB'，

∴MN=BN=，

∵，∠QMN=∠BMQ，

∴△MNQ∽△MQB，

∴，

∴，

∴當Q、N、B'三點共線時QB'+QB最小，

∵直線AB的解析式為y=x+2，

∴直線AB與對稱軸夾角為45°，

∵點B、B'關于對稱軸對稱，

∴∠BMB'=90°，

由勾股定理得：QB'+QB的最小值為B'N==，即QB'+QB的最小值是．