Question

【題目】在△ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F是BC邊上的中點．

（1）指出圖中的一個等腰三角形，并說明理由．

（2）若∠A=x°，求∠EFD的度數（用含x的代數式表達）．

（3）猜想∠ABC和∠EDA的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等腰三角形；

（2）∠EFD=180°﹣2x°；

（3）ABC=∠EDA．

【解析】

試題分析：（1）根據直角三角形的性質得到EF=BC，DF=BC，等量代換即可；

（2）根據三角形內角和定理和等腰三角形的性質計算；

（3）根據圓內接四邊形的性質解答．

試題解析：（1）△DEF是等腰三角形．

∵CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F是BC邊上的中點，

∴EF=BC，DF=BC，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵FE=FB，FD=FC，

∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，

∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，

∴∠EFD=180°﹣2x°；

（3）∠ABC=∠EDA．

∵∠BEC=∠BDC=90°，

∴B、E、D、C四點共圓，

∴∠ABC=∠EDA．