Question

【題目】解答題
（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，小明在矩形紙片ABCD的邊AD上取中點(diǎn)E，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部，將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說明理由．
（2）問題解決：保持（1）中條件不變，若DC=2FC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：同意．連接EF，則∠EGF=∠D=90°．

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴由折疊的性質(zhì)知，EG=ED

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．

∴GF=DF

（2）解：由（1）知，GF=DF．設(shè)FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．

∵DC=2FC，

∴DF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x．

在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2．

∴y=2 x

∴ = = ．

【解析】（1）連接EF，則AE=EG，HL可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．根據(jù)DC=2FC得到DF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y(tǒng)與x之間關(guān)系，從而求得兩條線段的比．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題．