Question

【題目】如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點．
（1）若BK= KC，求 的值；
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE= AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明．再探究：當AE= AD（n＞2），而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出你的結論，不必證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BK= KC，

∴ = ，

又∵CD∥AB，

∴△KCD∽△KBA，

∴ = =

（2）解：當BE平分∠ABC，AE= AD時，AB=BC+CD；

證明：取BD的中點為F，連接EF交BC于G點，

由中位線定理，得EF∥AB∥CD，

∴G為BC的中點，∠GEB=∠EBA，

又∵∠EBA=∠GBE，

∴∠GEB=∠GBE，

∴EG=BG= BC，而GF= CD，EF= AB，

∵EF=EG+GF，

即： AB= BC+ CD；

∴AB=BC+CD；

同理，當AE= AD（n＞2）時，EF∥AB，

同理可得： = ，則BG= BC，則EG=BG= BC，

= = ，則GF= CD，

= = ，

∴ + CD= AB，

∴BC+CD=（n﹣1）AB，

故當AE= AD（n＞2）時，BC+CD=（n﹣1）AB．

【解析】（1）由已知得 = ，由CD∥AB可證△KCD∽△KBA，利用 = 求值；（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位線，由中位線定理得EF∥AB∥CD，可知G為BC的中點，由平行線及角平分線性質，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，則EG=BG= BC，而GF= CD，EF= AB，利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數量關系；當AE= AD（n＞2）時，EG=BG= BC，而GF= CD，EF= AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．