Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，NM與⊙O相切于點M，與AB的延長線交于點N，MH⊥AB于點H．

（1）求證：∠1＝∠2；

（2）若∠N＝30°，BN＝5，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，求線段BN、MN及劣弧BM圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為5；（3）

【解析】

（1）根據切線的性質得出OM⊥MN，即可得出∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°，由NH⊥AB，推出∠2+∠MBO＝90°，根據等腰三角形的性質得出∠OBM＝∠OMB，即可證得∠1＝∠2；

（2）由∠N＝30°，推出∠1+∠2＝60°，所以∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°，得到BM＝BN＝5，易知△OBM為等邊三角形，所以OB＝OM＝BM＝5，得出結論；

（3）三角形OMN的面積減去扇形OMN的面積即為線段BN、MN及劣弧BM圍成的陰影部分面積．

解：（1）證明：連接OM，

∵NM與⊙O相切，

∴OM⊥MN，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB，

∵NH⊥AB，

∴∠2+∠MBO＝90°，

∵∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°，

∴∠1＝∠2；

（2）∵∠N＝30°，

MH⊥AB，

∴∠1+∠2＝60°，

∴∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°，

∴BM＝BN＝5，

∵OB＝OM，

∴△OBM為等邊三角形，

∴OB＝OM＝BM＝5，

即⊙O的半徑為5；

（3）由（2）知，∠N＝30°，OM＝5，

∴MN＝5，

∴S△OMN＝MNOM＝＝，

S扇形MOB＝＝，

∴線段BN、MN及劣弧BM圍成的陰影部分面積＝．