Question

【題目】如圖1，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點D在AC上，DE⊥AB于E，連接BD，點F是BD的中點，連接EF，CF．

（1）EF和CF的數量關系為　 　；

（2）如圖2，若△ADE繞著點A旋轉，當點D落在AB上時，小明通過作△ABC和△ADE斜邊上的中線CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的數量關系，請寫出此時EF和CF的數量關系　 　；

（3）若△AED繼續繞著點A旋轉到圖3的位置時，EF和CF的數量關系是什么？寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）EF=CF；（2）EF=CF；（3）EF=CF，證明詳見解析．

【解析】

（1）根據DE⊥AB，可得∠ACB＝∠DEB＝90°，再根據中點平分線段長度可得EF＝CF＝BD，即可證明EF＝CF；

（2）根據三角形斜邊中線定理可得CM＝BM＝AM＝AB，AN＝EN＝DN＝AD，即可推出FM＝EN，再根據旋轉的性質得ENF＝∠CMF，即可證明△EFN≌△FCM（SAS），得證EF＝CF；

（3）取AB的中點M，AD的中點N，連接MC，MF，EN，FN，通過證明四邊形MFNA是平行四邊形，可得NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，再通過三角形斜邊中線定理和角的和差關系可得CM＝NF，即可證明△MFC≌△NEF（SAS），從而得證FE＝FC．

解：（1）EF＝CF，

理由：∵DE⊥AB，

∴∠ACB＝∠DEB＝90°，

∵F是BD的中點，

∴EF＝CF＝BD；

故答案為：EF＝CF；

（2）EF＝CF，

理由：∵∠AED＝∠ACB＝90°，CM和EN是△ABC和△ADE斜邊上的中線，

∴CM＝BM＝AM＝AB，AN＝EN＝DN＝AD，

∵點F是BD的中點，

∴BF＝FD，

∴AN+BF＝DN+DF＝FN＝AB，

∴FN＝CM＝AM，

∵FM＝FN﹣MN，AN＝AM﹣MN，

∴FM＝AN，

∴FM＝EN，

∵△ADE繞著點A旋轉，當點D落在AB上，

∴∠EAD＝∠CAB，

∵∠EAN＝∠AEN，∠MAC＝∠ACM，

∴∠ENF＝∠EAN+∠AEN＝2∠EAN，∠CMF＝∠CAM+∠ACM＝2∠CAM，

∴∠ENF＝∠CMF，

在△EFN與△FCM中，，

∴△EFN≌△FCM（SAS），

∴EF＝CF；

故答案為：EF＝CF；

（3）猜想，EF＝CF，

理由：如圖3中，取AB的中點M，AD的中點N，連接MC，MF，EN，FN．

∵BM＝MA，BF＝FD，

∴MF∥AD，MF＝AD，

∵AN＝ND，

∴MF＝AN，MF∥AN，

∴四邊形MFNA是平行四邊形，

∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，

在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，

∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，

在△AEN和△ACM中，

∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，

∵∠MAC＝∠EAN，

∴∠AMC＝∠ANE，

又∵∠FMA＝∠ANF，

∴∠ENF＝∠FMC，

∵AM＝FN，AM＝CM，

∴CM＝NF，

在△MFC和△NEF中，，

∴△MFC≌△NEF（SAS），

∴FE＝FC．