Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD與CF的數量關系是　 　；BD與CF位置關系是　 　．

（2）拓展探究：如圖2，當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）解決問題：如圖3，當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，延長BD交CF于點H．

①求證：BD⊥CF；

②當AB=2，AD=3時，則線段DH的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF，BD⊥CF；（2）BD=CF成立，理由詳見解析；（3）①詳見解析；②DH=．

【解析】

（1）易知，BD=CF，BD⊥CF;（2）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質即可得BD＝CF成立；（3）利用△HFN與△AND的內角和以及它們的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的結論；連接DF，延長AB，與DF交于點M，利用△BMD∽△FHD求解.

（1）易知，BD=CF，BD⊥CF，

故答案為：BD=CF，BD⊥CF；

（2）如圖2中，BD=CF成立．

理由：由旋轉得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，

在△ABD和△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF．

（3）①證明：如圖3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN=∠ADN，

∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF=90°

∴∠NHF=90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．

∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠MDA=45°，

∵∠MAD=45°

∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，

∴AM=DM，

∵AD=3，

在△MAD中，AM2+DM2=AD2，

∴AM=DM=3，

∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1，

在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，

∴BD==．

在Rt△ADF中，AD=3，

∴DF=AD=6，

由②知，HD⊥HF，

∴∠DHF=∠DMB=90°，

∵∠BDM=∠FDH，

∴△BDM∽△FDH，

∴，

∴DH==．