Question

【題目】如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，且AE＝CF.

(1)求證：四邊形BEDF是菱形；

(2)若正方形ABCD的邊長為4，AE＝，求菱形BEDF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）8

【解析】

（1）連接BD交AC于點O，則由已知易得BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，結合AE=CF可得OE=OF，由此可得四邊形BEDF是平行四邊形，再結合BD⊥EF即可得到四邊形BEDF是菱形；

（2）由正方形ABCD的邊長為4易得AC=BD=，結合AE=CF=，可得EF=，再由菱形的面積等于兩對角線乘積的一半即可求得菱形BEDF的面積了.

(1)連接BD交AC于點O，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.

∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形，

又∵BD⊥EF，

∴四邊形BEDF為菱形．

(2)∵正方形ABCD的邊長為4，

∴BD＝AC＝.

∵AE＝CF＝，

∴EF＝AC－＝，

∴S菱形BEDF＝BD·EF＝×.