Question

如圖，已知二次函數（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點．

（1）寫出A、B兩點的坐標（坐標用m表示）；
（2）若二次函數圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上，求二次函數的解析式；
（3）設以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點，求CD的長．

Answer 1

解：（1）∵，∴當y=0時，。
解得x₁=﹣m，x₂=3m。
∵m＞0，∴A、B兩點的坐標分別是（﹣m，0），（3m，0）。
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
∴，圓的半徑為AB=2m。
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。
∴拋物線的頂點P的坐標為：（m，﹣2m）。
∵二次函數（m＞0）的頂點P的坐標為：（m，﹣4m²），
∴﹣2m=﹣4m²，解得m₁=，m₂=0（舍去）。
∴二次函數的解析式為，即。
（3）如圖，連接CM，

在Rt△OCM中，
∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴。
∴CD=2OC=。

（1）解關于x的一元二次方程，求出x的值，即可得到A、B兩點的坐標。
（2）由二次函數圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上，A、B是拋物線與x軸的交點，根據拋物線的對稱性及圓的半徑處處相等可知PM是AB的垂直平分線，且MP=MA=MB=AB，得出點P的坐標為（m，﹣2m），又根據二次函數的頂點式為（m＞0），得出頂點P的坐標為：（m，﹣4m²），則﹣2m=﹣4m²，解方程求出m的值，再把m的值代入，即可求出二次函數的解析式。
（3）連接CM．根據（2）中的結論，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的長度，利用勾股定理列式求出OC的長，再根據垂徑定理得出弦CD的長等于OC的2倍。