Question

【題目】已知三個全等的等邊三角形如圖1所示放置，其中點B、C、E在同一直線上，

（1）寫出兩個不同類型的結論；

（2）連接BD，P為BD上的動點（D點除外），DP繞點D逆時針旋轉60到DQ，如圖2，連接PC，QE，

①判斷CP與QE的大小關系，并說明理由；

②若等邊三角形的邊長為2，連接AP，在BD上是否存在點P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①CP＝QE，理由見解析；②存在，AP+CP+DP的最小值為

【解析】解：（1）答案不唯一，合理即可，

如AD∥BE，四邊形ABCD、ACED是菱形；

四邊形ABED是等腰梯形；四邊形ABED是軸對稱圖形；

（2）①CP＝QE；理由：

∵△AEC是等邊三角形，

∴CD=DE，∠CDE＝60，

∵DP繞點D逆時針旋轉60到DQ，

∴PD=DQ，∠PDQ＝60，

∴∠PDQ＝∠QDE，

∴△DPC≌△DQE

∴CP＝QE。

②連接AP，由①可知CP＝QE，

∵DP繞點D逆時針旋轉60到DQ，

∴△DPQ是等邊三角形，

∴DP=DQ，

要使AP+CP+DP的值最小，關鍵是AP+QE+QP的值最小，即點A、P、Q、E在同一直線上（AE），構建兩點之間，線段最短，過點A作AM⊥BE于點M，可得BM＝1，EM＝3，AM＝，

所以AE＝，

故在BD上存在點P，故AP+CP+DP的值最小，最小值是．