Question

27、我們約定，若一個三角形（記為△A₁）是由另一個三角形（記為△A）通過一次平移，或繞其任一邊的中點旋轉180°得到的，則稱△A₁是由△A復制的．以下的操作中每一個三角形只可以復制一次，復制過程可以一直進行下去．如圖1是由△A復制出△A₁，又由△A₁復制出△A₂，再由△A₂復制出△A₃，形成了一個大三角形，記作△B．以下各題中的復制均是由△A開始的，由復制形成的多邊形中的任意兩個小三角形（指與△A全等的三角形）之間既無縫隙也無重疊．
（1）圖1中標出的是一種可能的復制結果，它用到

1

次平移，

2

次旋轉．小明發現△B∽△A，其相似比為

2：1

．若由復制形成的△C的一條邊上有11個小三角形（指有一條邊在該邊上的小三角形），則△C中含有

121

個小三角形；
（2）若△A是正三角形，你認為通過復制能形成的正多邊形是

正三邊形、正六邊形

；
（3）在復制形成四邊形的過程中，小明用到了兩次平移一次旋轉，你能用兩次旋轉一次平移復制形成一個四邊形嗎？如果能，請在圖2的方框內畫出草圖，并仿照圖1作出標記；如果不能，請說明理由；
（4）圖3是正五邊形EFGHI，其中心是O，連接O點與各頂點．將其中的一個三角形記為△A，小明認為正五邊形EFGHI是由復制形成的一種結果，你認為他的說法對嗎？請判斷并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平移性質、旋轉性質和相似知識進行求解；
（2）應該是證三角形和正六邊形；
（3）只要符合平移和旋轉的性質即可，答案不唯一；
（4）不可能是正五邊形，由于不管怎么平移和旋轉，得出的圖形至少有一邊與原三角形的邊平行，因此不可能是正五邊形．

解答：解：（1）△A-△A1是經過旋轉所得，△A1-△A2是經過旋轉所得，△A2-△A3是經過平移所得．因此經過了2次旋轉和1次平移．由于△B是由4個△A組成，因此S_△B=4_S△A，因此相似比為2：1．當△C的一條邊上有11個小三角形時，那么它們的相似比為11：1，面積比121：1，即△C中有121個這樣的小三角形；

（2）正三邊形、正六邊形；

（3）能，見右圖；

（4）不對；因為平移或旋轉復制后，至少有一條邊和原三角形的邊平行．

點評：本題考查了平移的性質，旋轉的性質以及相似和全等三角形的判定等知識點．找出圖中的規律是解題的關鍵．