Question

【題目】問題原型：如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．過點(diǎn)D作△BCD的BC邊上的高DE， 易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為．

初步探究：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積，并說明理由．

簡單應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析:(1)初步探究:如圖②,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長線交于點(diǎn)E,由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a,進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論,

(2)簡單運(yùn)用:如圖③,過點(diǎn)A作AF⊥BC與F,過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E,由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=BC,由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.

試題解析:(1)△BCD的面積為,

理由:如圖②,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長線交于點(diǎn)E,

∴∠BED=∠ACB=90°,

∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,

∴AB=BD,∠ABD=90°,

∴∠ABC+∠DBE=90°,

∵∠A+∠ABC=90°,

∴∠A=∠DBE,

在△ABC和△BDE中,

,

∴△ABC≌△BDE（AAS）,

∴BC=DE=a,

∵S△BCD=

∴S△BCD=,

(2)簡單應(yīng)用:如圖③,過點(diǎn)A作AF⊥BC與F,過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E,

∴∠AFB=∠E=90°,BF= ,

∴∠FAB+∠ABF=90°,

∵∠ABD=90°,

∴∠ABF+∠DBE=90°,

∴∠FAB=∠EBD,

∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,

∴AB=BD,

在△AFB和△BED中,

,

∴△AFB≌△BED（AAS）,

∴BF=DE= ,

∵S△BCD= ,

∴S△BCD=,

∴△BCD的面積為,