Question

【題目】已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，
問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？
問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．
問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉�角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．
問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉�角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：問題1：過點D作DE⊥BC于點E， ∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC﹣BE=2，
∴DC=2 ，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，
設PB=x，則AP=2﹣x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2 ， 即x2+32+（2﹣x）2+1=8，
化簡得x2﹣2x+3=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
∴方程無解，
∴對角線PQ與DC不可能相等．
問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，
則G是DC的中點，
過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．
問題3：如圖2′，設PQ與DC相交于點G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴ = = ，
∴G是DC上一定點，
作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
同理可證∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 = = ，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．
問題4：如圖3，設PQ與AB相交于點G，連接DG

∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴ = ，
∴G是AB上一定點，
∵四邊形PBQE是平行四邊形，
∴ = =
∴當GP最小時，QP有最小值
在△GDP中，當GP⊥CD時，GP最小，
當PQ垂直于CD時，P點在CD的延遲線上，
∴當點P與點D重合時，GP取最小值，
∴QPmin=QD
∵AB=2
∴AG= ，
∴DG= = ，
∴QD= DG= = ，
∴QPmin=QD= ，
故對角線PQ的最小值為 ．


【解析】問題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設PB=x，可得方程x2+32+（2﹣x）2+1=8，由判別式△＜0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等； 問題2：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，則可得當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4；
問題3：設PQ與DC相交于點G，PE∥CQ，PD=DE，可得 = = ，易證得Rt△ADP∽Rt△HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案；
問題4：設PQ與AB相交于點G，連接DG，由平行四邊形PBQE得 = ，可知G為定點，由△GDP性質(zhì)可知點D、P重合時GP最小，即GP最小為DP．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．