Question

【題目】如圖，A、B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角．
（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角， ①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=°；②若⊙O的半徑是1，AB= ，求∠APB的度數；
（2）已知O2是⊙O1外一點，以O2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點，∠APB是⊙O1上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）90；45°或135°
（2）解：根據點P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖①

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；

第二種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖②．

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；

第三種情況：點P在⊙O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖③．

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，

第四種情況：點P在⊙O2內，如圖④，

∠APB=∠MAN+∠ANB

【解析】解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90． ②解：如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB= ，
∴ + = ．
∴∠AOB=90°．
當點P在優弧 上時，∠APB= ∠AOB=45°；
當點P在劣弧 上時，∠AP′B= （360°﹣∠AOB）=135°

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．