Question

如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點旋轉，如圖1，使它的斜邊與BC交于點E，一條直角邊與CD交于點F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點．
（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1：

2

；
（2）請再在圖1中（不再添線和加注字母）找出兩對相似比為1：

2

的非直角三角形的相似三角形；（直接寫出）
（3）如圖2，當M點旋轉到BC的垂直平分線PQ上時，連接ON，若ON=8，求MQ的長．

Answer 1

分析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，可以求出∠BAC=∠ABD=45°，

AB

AC

=

1

2

．由已知知道∠MAN=45°，再證明∠3=∠2就可以證明兩三角形相似．得到結論．
（2）利用相似三角形的判定方法，兩角對應相等的兩三角形相似可以找到結論．
（3）作NG⊥PQ于點G，可以證明三角形全等，得到NG=OG=MQ，在Rt△NGO中利用勾股定理求出NG的長，從而求出其解，

解答：（1）證明：∵△NMA是等腰直角三角形，
∴∠NAM=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴

AB

AC

=

1

2

，∠ABO=∠BAO=∠ACF=45°，
∴∠ABO=∠BAO=∠NAM=∠ACF，
∴∠BAO-∠1=∠NAM-∠1，
∴∠3=∠2，
∴△ABP∽△ACF，
∵

AB

AC

=

1

2

，
∴△ABP∽△ACF，且相似比為1：

2

，


（2）解：由相似三角形的判定方法得：△AQD∽△AEC；△APQ∽△AFE．

（3）解：作NG⊥PQ于點G，
∴∠MGQ=90°，
∴∠GNM+∠NMG=90°，
∵∠NMA=90°，
∴∠NMG+∠AMQ=90°，
∴∠GNM=∠AMQ，
∵MQ是BC的中垂線，
∴∠AQM=90°，
∴∠AQM=∠NGM，
∵AM=NM，
∴△NGM≌△MQA，
∴NG=MQ，MG=AQ，
∵AQ=QO，
∴QO=MG，
∴MO+QO=MO+MG，
即MQ=GO，
∴NG=GO，由勾股定理得，GO=4

2

，
∴MQ=4

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質、正方形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理的運用．