Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點P從B點出發沿著BC向C移動，速度為每秒2個單位，動點Q從點C出發沿CD向D出發，速度為每秒1個單位，幾秒后由C、P、Q三點組成的三角形與△ABC相似？這時線段PQ與AC的位置關系如何？請說明理由．

Answer 1

要使兩個三角形相似，由∠B=∠PCQ
∴只要

AB

PC

=

BC

CQ

或者

AB

QC

=

BC

CP

∵AB=6，BC=8
∴只要

PC

CQ

=

6

8

或者

QC

CP

=

6

8

設時間為t
則PC=8-2t，CQ=t
∴t=

32

11

或者t=

12

5

；

①當t=

32

11

時，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC
理由：△ABC∽△PCQ
∴∠BAC=∠CPQ
∵∠BAC+∠ECP=90°，
∴∠EPC+∠ECP=90°
即PQ⊥AC；

②當t=

12

5

，△ABC∽△QCP，AC平分PQ
理由：△ABC∽△QCP
∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC
∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC
∴PE=EQ=CE
即AC平分PQ．