Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF．

（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；

（2）求四邊形DAEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）先根據等邊三角形的性質和SAS證明△BDF≌△BAC，可得DF＝AC，進而可得DF＝AE，同理可得DA＝EF，于是可根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行邊形來證明結論；

（2）先證明△ABC為直角三角形，進而可求得∠DAE＝150°，進一步可得∠FDA＝30°，過F作FM⊥AD，然后利用30°角的直角三角形的性質可求得FM的長，進而可得結果．

（1）證明：∵等邊△BCF和等邊△ABD，

∴BF＝BC，BD＝BA，∠FBC=∠DBA=60°，

又∵∠DBF＝60°﹣∠ABF，∠ABC＝60°﹣∠ABF，

∴∠DBF＝∠ABC．

∴△BDF≌△BAC（SAS）．

∴DF＝AC．

∵在等邊△ACE中，AC＝AE，

∴DF＝AE．

同理DA＝EF．

∴四邊形DAEF是平行四邊形；

（2）解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，

∴AB2+AC2＝32+42=52=BC2，

∴△ABC為直角三角形，

∴∠BAC＝90°，

又∵∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，

∴∠FDA＝30°，

如圖，過F作FM⊥AD于點M，

則FM＝FD＝AE＝AC＝2，

∴S四邊形DAEF＝ADFM＝3×2＝6．