Question

【題目】如圖，正方形的邊長是4，的平分線交于點，若點、分別是和上的動點，則的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過作的垂線交于F，交AC于D′，再過D′作D′P′⊥AD，由角平分線的性質可得出D′是D關于AE的對稱點，進而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．

解：過作的垂線交于F，交AC于D′，再過D′作D′P′⊥AD，如下圖，

∵DD′⊥AE，

∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，

∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D關于AE的對稱點，AD′=AD=4，

∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，

∴AP′=P′D′，

在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=，

即的最小值是．

故答案為：．