Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC＝3，BC＝4．

（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點X，與邊BC相切于點Y．請你在圖2中作出并標明⊙O的圓心（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）P是這個Rt△ABC上和其內部的動點，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設⊙P的面積為S，你認為能否確定S的最大值？若能，請你求出S的最大值；若不能，請你說明不能確定S的最大值的理由．

Answer 1

(1)作圖見解析；（2）.

試題分析：（1）作出∠B的角平分線BD，再過X作OX⊥AB，交BD于點O，則O點即為⊙O的圓心；
（2）由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定，故應分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切；⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時；⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時三種情況進行討論．
試題解析：（1）如圖所示：

①以B為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交BC、AB于點G、H；②分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫圓，兩圓相交于D，連接BD；③過X作OX⊥AB，交直線BD于點O，則點O即為⊙O的圓心．
（2）①當⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切時，由角平分線的性質可知，動點P是∠ABC的平分線BM上的點，如圖1，在∠ABC的平分線BM上任意確定點P₁（不為∠ABC的頂點）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，當BP₁＞BO時，P₁Z＞OX即P與B的距離越大，⊙P的面積越大，這時，BM與AC的交點P是符合題意的、BP長度最大的點； 如圖2，

∵∠BPA＞90°，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上，
∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與CB相切于C，與邊AB相切于E，即這時⊙P是符合題意的圓，
時⊙P的面積就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=，
設PC=x，則PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（-2）²，
∴x=2-4；
②如圖3，

同理可得：當⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時，設PC=y，則（2-y）²=y²+（-1）²，
∴y=；
③如圖4，

同理可得，當⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時，設PF=z，
∵△APF∽△PBE，
∴PF：BE=AF：PE，
∴，
∴z=．
由①、②、③可知，
＞＞
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面積S的最大值為π．
考點:1. 切線的性質；2.角平分線的性質；3.勾股定理；4.作圖—復雜作圖．