Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為(4，1)的拋物線交y軸于點A，交x軸于B，C兩點(點B在點C的左側)，已知C點坐標為(6，0)．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)連結AB，過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切，先補全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關系并加以證明；

(3)已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間．問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x－3；(2) 直線BD與⊙C相離．證明見解析；(3) P點的位置是(3， )，△PAC的最大面積是.

【解析】

試題（1）根據頂點坐標列出頂點式，再將C點坐標代入即可；

（2）先求出圓的半徑，再借助三角形相似，求出C到直線的距離，比較他們的大小即可；

（3）過點作平行于軸的直線交于點.設出點坐標，求出PQ的值，再表示出

的面積，借助函數關系式求出最值.

試題解析：（1）∵拋物線的頂點為（4,1）,

∴設拋物線解析式為.

∵拋物線經過點（6,0）,

∴.

∴.

∴.

所以拋物線的解析式為；

(2)補全圖形、判斷直線BD與⊙相離

令=0,則,.

∴點坐標（2,0）.

又∵拋物線交軸于點,

∴A點坐標為（0,-3）,

∴.

設⊙與對稱軸l相切于點F,則⊙的半徑CF=2,

作⊥BD于點E,則∠BEC=∠AOB=90°.

∵,

∴.

又∵,

∴.

∴∽,

∴.

∴,

∴.

∴直線BD與⊙相離；

(3)如圖,過點作平行于軸的直線交于點.

∵A（0,-3）,（6,0）.

∴直線解析式為.

設點坐標為（,）,

則點的坐標為（,）.

∴PQ=-()=.

∵,

∴當時,的面積最大為

∵當時,=

∴點坐標為（3,）.

綜上：點的位置是（3,）,的最大面積是.