Question

如圖，在中，，，.若動點在線段上（不與點、重合），過點作交邊于點.

（1）當點運動到線段中點時，      ；
（2）點關于點的對稱點為點，以為半徑作⊙,當         時，⊙與直線相切.

Answer 1

（1）   （2）或.

試題分析：（1）求出BC，AC的值，推出DE為三角形ABC的中位線，求出即可；
（2）求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，證△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．
試題解析：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，AB＝4，
∴BC=AB=2，AC=6，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D為AC中點，
∴E為AB中點，
∴DE=BC=，
（2）過C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，AC=6，
∴由三角形面積公式得： BC•AC=AB•CH，CH=3，分為兩種情況：①如圖1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F關于D對稱，
∴DF=AD= ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，DE= ；
②如圖2，

∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F關于D對稱，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
DE=；
考點: 1.切線的性質；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理；4.三角形中位線定理.