Question

【題目】如圖，直線交y軸于點C，交x軸于點D，直線經過點A(4，0)，且兩直線交于點B(2，m).

(1)求m的值和直線的函數表達式；

(2)直線在第一象限內的部分有一點E，且，求出點E的坐標，并在y軸上找一點P，使得BP+PE的值最小，求出P的坐標和這個最小值；

(3)在(2)的條件下，若點Q為y軸上一點，且△BPQ為等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）E(6，2) ，P(0，-1)，最小值為：；（3）點Q的坐標為或或（0，－3）或（0，）.

【解析】

（1）首先易求m的值，得到B點坐標，然后用待定系數法求直線的函數表達式即可；

（2）求出D（1，0），得出AD＝3，根據且點E在第一象限內的直線上，可得E點縱坐標為2，進而得到E（6，2），作點B(2，-2)關于y軸的對稱點B1(-2，-2)，連接B1E交y軸于點P，此時B1P+PE最小，用兩點間距離公式可求這個最小值，然后再用待定系數法求出直線B1E的解析式，進而可得P的坐標；

（3）分三種情況：①當BP＝PQ時，求出BP，即可得到點Q坐標；②當BP＝BQ時，則點B在線段PQ的垂直平分線上，進而得到點Q坐標；③當BQ＝PQ時，可根據兩點間距離公式列方程求出點Q坐標.

解：（1）∵點B(2，m)在直線上，

∴，

∴B(2，-2)，

設直線，

∵A(4，0)，B(2，-2)在直線上，

∴，解得：，

∴直線的函數表達式為：；

（2）令-2x+2=0，解得 x=1，

∴D(1，0)，

∵A(4，0)，B(2，-2)，

∴AD=3，

由條件設E(a，b)，

∵，

∴，

∵E(a，b)在第一象限內的直線上，

∴b=2，

∴a=6，即E(6，2) ，

作點B(2，-2)關于y軸的對稱點B1(-2，-2)，連接B1E交y軸于點P，此時BP+PE最小，

最小值為，

設直線B1E的解析式為y=kx+b，

則，解得：，

∴直線B1E的解析式為，

當x=0時，y=－1，

∴P(0，-1)；

（3）由題意得：B(2，-2)，P(0，-1)，△BPQ為等腰三角形，

①當BP＝PQ時，

∵，

∴點Q縱坐標為或，

∴點Q坐標為：或；

②當BP＝BQ時，則點B在線段PQ的垂直平分線上，易得點Q縱坐標為－3，

∴點Q坐標為：（0，－3）；

③當BQ＝PQ時，設點Q坐標為（0，n），

則，

解得：，

∴點Q坐標為：（0，），

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為或或（0，－3）或（0，）.