Question

【題目】證明題
（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=-p ， x1 x2=q ．
（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（-1，-1），設線段AB的長為d，當p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

∵a=1，b=p，c=q

∴△=p2-4q

∴x=

即x1= ，x2=

∴x1+x2= + =-p，

x1x2= =q

（2）

解：把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2

設拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為（x1，0）、（x2，0）

∵d=|x1-x2|，∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4

當p=2時，d2的最小值是4．

【解析】（1）先根據求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可；（2）把點（-1，-1）代入拋物線的解析式，再由d=|x1-x2|可知d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=p2 ， 再由（1）中 x1+x2=-p ， x1x2=q即可得出結論．
【考點精析】掌握根與系數的關系和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．