Question

【題目】觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．

（1）求證：△AEC≌△CDB；

（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉90°至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積；

（3）拓展提升：如圖3，∠E=60°，EC=EB=4cm，點O在BC上，且OC=3cm，動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動，連結OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉120°得到線段OF．要使點F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）18；（3）2.5

【解析】

(1）根據題干可知本題考查全等三角形證明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，則可根據“AAS”證明△AEC≌△CD。

(2)根據圖2和條件，作B'D⊥AC于D，先證明△B'AD≌△A B'D得到B'D=AC=6，

則可根據三角形面積公式計算；

(3)根據圖3，利用旋轉的性質得∠FOP=120°，OP=OF，

再證明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，

則EP=CE＋CP=5，然后計算點P運動的時間t．

(1)∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠DCB=90°，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∴∠EAC＋∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠DCB，

又∵AC=BC，

∴△AEC≌△CDB(AAS)；

(2)如圖2，作B'D⊥AC于D，

∵斜邊AB繞點A逆時針旋轉90°至AB'，

∴AB’=AB，∠B’AB=90°，

即∠B′AC＋∠BAC=90°，

而∠B＋∠CAB=90°，

∴∠B=∠B'AC，

∴△B’AD≌△A B′D(AAS)，

∴B′D=AC=6，

∴△A B′C的面積=6×6÷2=18；

(3)如圖3，由旋轉知，OP=OF，

∵△BCE是等邊三角形，

∴∠CBE=∠BCE=60°

∴∠OCP=∠FBO=120°，

∠CPO＋∠COP=60°，

∵∠POF=120°，

∴∠COP＋∠BOF=60°，

∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中

∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP

∴△BOF≌△PCO，

∴CP=OB，

∵EC=BC=4cm，OC=3cm，

∴OB=BC-OC=1，

∴CP=1，

∴EP=CE＋CP=5，

∴點P運動的時間t=5÷2=2.5秒。