Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A在y軸正半軸上，點B的橫、縱坐標分別是一元二次方程x²+5x﹣24=0的兩個實數根，點D是AB的中點．

（1）求點B坐標；
（2）求直線OD的函數表達式；
（3）點P是直線OD上的一個動點，當以P、A、D三點為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

(1)點B坐標為（﹣8，3）；（2）；（3）P點的坐標為標為、、、.

試題分析：本題考查了一次函數綜合題，涉及的知識點有：解方程，中點坐標公式，待定系數法，等腰三角形的判定與性質，分類思想的運用，綜合性較強．（1）解方程x2+5x-24=0得到它的兩個實數根，根據點B所在象限進一步得到點B坐標（﹣8，3）；（2）由點D是AB的中點，結合點B的坐標可得點D坐標（-4,3），再根據待定系數法得到正比例函數直線OD的函數表達式為：；（3）由點P在直線OD上，可設P點的坐標為，當以P、A、D三點為頂點的三角形是等腰三角形時，應分三種情況討論：即①PA=PD；②AP=AD；③DP=DA；分別就三種情況求出P點的坐標．
試題解析：
解：（1）解方程x²+5x﹣24=0，
得x₁=﹣8，x₂=3，
∴點B坐標為（﹣8，3）；
∵點D是AB的中點，
∴D（﹣4，3）；
設直線OD的解析式為，
∴3=﹣4k，解得
∴直線OD的函數表達式為
（3）由A（0，3），D（﹣4，3）可知：AD=4．
設P點的坐標為，當以P、A、D三點為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況：
①如果PA=PD，那么點P在AD的垂直平分線上，
∴x=﹣2，
∴P點的坐標為.
②如果AP=AD，那么
解得：（與D點重合舍去），
當時，
∴P點的坐標為
③如果DP=DA，那么
解得：，
當時，；
當時，.
∴P點的坐標為，.
綜上所述，P點的坐標為標為、、、.