Question

【題目】如圖1，對稱軸為直線x= 的拋物線經過B（2，0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第一象限內拋物線上的一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對稱性得：A（﹣1，0），

設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），

把C（0，4）代入：4=﹣2a，

a=﹣2，

∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），

∴拋物線的解析式為：y=﹣2x2+2x+4；

（2）解：如圖1，設點P（m，﹣2m2+2m+4），過P作PD⊥x軸，垂足為D，

∴S=S梯形+S△PDB= m（﹣2m2+2m+4+4）+ （﹣2m2+2m+4）（2﹣m），

S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，

∵﹣2＜0，

∴S有最大值，則S大=6；

（3）解：存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形，

理由是：

分以下兩種情況：

①當∠BQM=90°時，如圖2：

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ．

設直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），

把B（2，0）、C（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+4，

設M（m，﹣2m+4），

則MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，

在Rt△OBC中，BC= = =2 ，

∵MQ∥OC，

∴△BMQ∽BCO，

∴ ，即 ，

∴BM= （2﹣m）=2 ﹣ m，

∴CM=BC﹣BM=2 ﹣（2 ﹣ m）= m，

∵CM=MQ，

∴﹣2m+4= m，m= =4 ﹣8．

∴Q（4 ﹣8，0）．

②當∠QMB=90°時，如圖3，

同理可設M（m，﹣2m+4），

過A作AE⊥BC，垂足為E，

∴∠EAB=∠OCB，

∴sin∠EAB= ，

∴ ，

∴BE= ，

過E作EF⊥x軸于F，

sin∠CBO= ，

∴ ，

∴EF= ，

由勾股定理得：BF= = ，

∴OF=2﹣ = ，

∴E（ ， ），

由A（﹣1，0）和E（ ， ）可得：

則AE的解析式為：y= x+ ，

則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），

設Q（﹣x，0）（x＞0），

∵AE∥QM，

∴△ABE∽△QBM，

∴ ①，

由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（﹣2m+4﹣4）2]②，

由以上兩式得：m1=4（舍），m2= ，

當m= 時，x= ，

∴Q（﹣ ，0）．

綜上所述，Q點坐標為（4 ﹣8，0）或（﹣ ，0）．

【解析】（1）首先依據點A與點B關于x=對稱求得點A的坐標，然后利用待定系數法求求得拋物線的解析式即可；
（2）設點P（m，﹣2m2+2m+4），過P作PD⊥x軸，垂足為D，然后得到S與m的函數關系式，接下來，依據二次函數的性質求得S的最大值即可；
（3）分為∠BQM=90°和∠QMB=90°兩種情況畫出圖像，當∠BQM=90°時，先證明△BMQ∽BCO，然后再依據相似三角形的性質列方出求解即可；當∠QMB=90°時，過A作AE⊥BC，垂足為E，過E作EF⊥x軸于F，然后證明△ABE∽△QBM，然后再依據似三角形的性質列方出求解即可.